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2016年中考数学复*系列课件-第24讲 解直角三角形及其应用 新人教版

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第24讲┃

解直角三角形及其应用

第24讲┃ 考点聚焦

考点聚焦
考点 仰角 和俯 角 解直角三角形的应用常用知识 在视线与水*线所成的角中,视线在水 *线上方的叫仰角,视线在水*线下方 的叫俯角 坡面的铅直高度h和水*宽度l的比叫做 ∶l 坡面的坡度(或坡比),记作i=h ____ 坡面与水*面的夹角叫做坡角,记作 α .i=tanα ,坡度越大,α 角越大,坡 越陡 面________

仰角 俯角

坡度

坡度 和坡 角

坡角

第24讲┃ 考点聚焦

定义 方向角(或 方位角) 图例

指北或指南方向线与目标方向线 所成的小于90°的水*角叫做方 向角

第24讲┃ 归类示例

归类示例
? 类型之一 利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题 命题角度: 1. 计算某些建筑物的高度(或宽度); 2. 将实际问题转化为直角三角形问题. 例1 [2012·凉山州 ]某校学生去春游,在风景区看到一棵汉 柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话: 小明:我站在此处看树顶仰角为45°. 小华:我站在此处看树顶仰角为30°. 小明:我们的身高都是1.6 m. 小华:我们相距20 m. 请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度. (参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,结果保留三个有效数字)

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[解析] 画出如图示意图,延长BC交DA于E.设AE的长为x米,在 Rt△ACE中,求得CE=AE,然后在Rt△ABE中求得BE,利用BE- CE=BC,解得AE,则AD=AE+DE.

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解:如图所示,延长BC交DA于E. 设AE 的长为x米,在Rt△ACE中, ∠ACE=45°,∠AEB=90°, 则∠CAE=45°,∴AE=CE=x 米; 在Rt △ABE中,∠B=30°,AE =x, AE x ∴tanB= ,即tan30°= ,∴BE= 3x. BE BE ∵BE -CE=BC,BC=20米,∴ 3x -x=20, 解得x =10 3 +10. ∴AD =AE+DE=10+10 3 +1.6≈28.9(米). 答:这棵汉柏树的高度约为28.9米.

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在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视 角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来 解决问题.常见的构造的基本图形有如下几种: ①不同地点看同一点

图24-1

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②同一地点看不同点

图24-2 ③利用反射构造相似

图24-3

第24讲┃ 归类示例 ? 类型之二 利用直角三角形解决航海问题

命题角度: 1. 利用直角三角形解决方位角问题; 2. 将实际问题转化为直角三角形问题. 例2 [2012·常德]如图24-4,一天,我国一渔政船航行 到A处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船, 正在以12海里/小时的速度向西北方向航行. 我渔政船立即 沿北偏东60°方向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处 截获可疑渔船.问我渔政船的航行路程是多少海里?(结果 保留根号)

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图24-2

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解:作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△BDC 中,因为 BC=12×1.5=18(海里),∠CBD=90°-45°=45° 所以 CD=18· sin45°=9 2(海里). 在 Rt△ADC 中,因为∠CAD=90°-60°=30°, 所以 AC=2CD=18 2(海里). 答:我渔政船航行 18 2海里.

第24讲┃ 归类示例 ? 类型之三 利用直角三角形解决坡度问题 命题角度: 1. 利用直角三角形解决坡度问题; 2. 将实际问题转化为直角三角形问题. 例3 [2012·衡阳]如图24-5,一段河坝的横断面为梯形 ABCD,试根据图中的数据,求出坝底宽AD.(i=CE∶ED, 单位:m)

图24-5

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[解析] 作BF⊥AD于点F,在直角 △ABF中利用勾股定理即可求得AF的长, 在直角△CED中,利用坡比的定义即可求 得ED的长度,进而即可求得AD的长.

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解:如图所示,过点 B 作 BF⊥AD,可得矩形 BCEF.

∴EF=BC=4,BF=CE=4. 在 Rt△ABF 中,∠AFB=90°,AB=5,BF=4. 由勾股定理可得:AF= 52-42=3. CE 1 又∵Rt△CED 中,i= = , ED 2 ∴ED=2CE=2×4=8. ∴AD=AF+FE+ED=3+4+8=15(米).

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回归教材
热气球测楼高 教材母题 人教版九下P88例4

热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼 的水*距离为120 m,这栋高楼有多高(结果保留小数点 后一位)?

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图24-6 [解析] 我们知道,在视线与水*线所成的角中, 视线在水*线上方的是仰角,视线在水*线下方的 是俯角.因此,在图24-6中,α=30°,β=60°. 在Rt△ABD中,α=30°,AD=120,所以可以利 用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出 CD,进而求出BC.

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解:如图 24-6,α=30°,β=60°,AD=120. BD CD ∵tanα=AD,tanβ=AD, ∴BD=AD· tanα=120×tan30° =120× 3 =40 3, 3

CD=AD· tanβ=120×tan60° =120× 3=120 3, ∴BC=BD+CD=40 3+120 3 =160 3≈277.1. 答:这栋楼高约为 277.1 m.

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[点析] 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题 ,然后利用解直角三角形的知识来解决,这是解此类问题 的常规思路.

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中考变式
[2012·扬州] 如图24-7,一艘巡逻艇航行至海面B处 时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发 生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救. 已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A处 位于B处的北偏西30°的方向上. 求A、C两处之间的 距离.(结果精确到0.1 海里. 参考数据:≈1.41, ≈1.73)

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图24-7

[解析] △ABC不是直角三角形,可过点A作AD⊥BC于点D,构 造Rt△ACD和Rt△ABD.设两直角三角形的公共边AD=x,分别 解Rt△ACD和Rt△ABD,用含x的代数式分别表示CD和BD的长, 根据CD+BD=BC=20建立方程可求得x的值,再在Rt△ACD中 求得AC的长.

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解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D. 由题意可知∠B=30°,∠ACD=∠1=45°,得 △ADC是等腰直角三角形, ∴DC =AD. 设AD =x,则DC=x. AD AD x 在Rt △ADB中,tanB= ,∴DB= = DB tanB tan30° = 3x. ∵BC =20, ∴x+ 3x =20,x= 10. 在Rt △ACD中,AC= 2AD,
? ∴AC = 2×? ?10 3 -10 ? ≈10.3. 答:A、C间的距离约为10.3 海里. ? ?

20 ? ? ? =10 ? 3- ? 3 -1 ? =10 3 +1




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